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日志

理想气体方程的牛顿第二定律推导

已有 607 次阅读2019-9-21 07:33 |个人分类:科普|系统分类:教育

物理学是一种基于第一原理的数学化科学。牛顿第二定律 F=ma ,这是第一原理。其实牛顿原来的表述更为准确,F = dp/dt ,力等于动量的变化率。理想气体的状态方程: P V  = n R T ,气体的压强乘以体积正比于气体的摩尔数与绝对温度。怎么从牛顿第二定律得到理想气体方程呢?这是我上中学时候曾经思考并解决的问题。

物理图像是:气体分子在容器上碰撞产生压力。需要计算的是:压力大小。为此,我们考虑一个最简单的情况,一个长度为L的盒子,两端的面积为A,里面有一个小球 m 在水平方向上以速度 v 运动,这个球在盒子两端来回撞击。那么两端上的平均压力是多大呢?

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如图,小球以速度 v 向右 撞在右边的盒子璧上面,然后弹性反弹,以速度 v 向左,其速度大小没有变,但是方向反了,因此这个碰撞过程速度的变化是 2 v 。速度变化就有加速度。小球的平均加速度是多大?因为小球要在 盒子里走一个来回才在右边发生一次碰撞,其来回需要的时间的 t = 2 * L /v,而速度变化是 2v。我们可以说,其平均加速度 a 是:

a = 2* v / t =  v^2 / L 

根据牛顿第二定律,小球平均受力为 F = ma = m v^2 / L  。(对于很多读者来说,用 F = dp/dt, 得出 冲量等于动量变化的表述也许更符合其思路。)

根据牛顿第三定律,小球受墙壁的力大小等于小球加给墙壁的力。而压强等于压力除以面积。所以,小球产生的压强是:

P = F / A = m v^2 /(L *A)

而 L*A 就是 盒子的体积  V。由此我们得出:

P = m v^2 / V 或者说  P V = m v^2 

假设盒子里有 N 个小球,那么压强将会相应为 N倍,也就是说:

P V = N m v^2

这已经跟理想气体方程非常接近了,N 除以阿伏伽德罗常数(N_A) 就是摩尔数: n = N/N_A。剩下的似乎只需要把  m v^2 (小球动能 *2)跟温度联系起来, 令 m v*2 = R* T / N_A 就得到了理想气体方程。 R/N_A 叫着玻尔兹曼常数 k,而 1/2 m v^2 则是小球的动能 E_k ,这么一来在这个问题里 E_k = 1/2 kT ,温度与动能挂上了钩。但温度是一个比较复杂的概念,温度的正确理解超出了初中物理范围。如果小球速度不都是 v 而是有个分布,从上面可以看出,这不会影响气体方程的形式,因为上面方程右边是可以简单相加的。

更进一步,可以考虑小球不只是在水平方向运动,而是在三个方向自由飞翔,这就需要更多的数学计算了,但是基本结果还是一样的。

接下来可以思考的是,如果小球有一定体积对方程会有什么影响。。。

上面的一维模型对于理解绝热压缩也提供了非常直观的微观图像:假设右边的盒子璧是可以移动的,如果将其向左推,因为盒璧在向左运动,每次小球撞它上面速度都会增加。对于大量小球构成的气体,这就表现在温度增高。




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